Так как то

В ос­но­ва­ни­ях пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы лежат пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки, най­дем их сто­ро­ны с по­мо­щью фор­му­лы пло­ща­ди для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

По­сколь­ку то

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Зна­чит, тогда Так как DK и DM  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­уголь­ник DMK  — осе­вое се­че­ние, то Тогда имеем:

От­сю­да угол Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOD вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

По­сколь­ку про­ек­ция MA на плос­кость ABCD  — пря­мая AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая MA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD. Сле­до­ва­тель­но, угол BAM  — это ли­ней­ный дву­гран­но­го угла между гра­нью AMD и ос­но­ва­ни­ем, ко­то­рый равен 30°. Ана­ло­гич­но пря­мая MC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC и угол MCB равен 60°.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBA вы­ра­зим MB:

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: